Curiositats de ciències i matemàtiques: Maneres de comptar

per Carlos Macias Castro, Comissió STEM
Podem reflexionar sobre com fem per comptar objectes o elements i com assignem els números anomenats naturals que fem servir per quantificar-los així com també sobre si l’equidistància entre quantitats consecutives és un fet innat o cultural i, per començar, explicarem un acudit:
“Els soldats de la cavalleria dels Estats Units en Fort Apache i un dels que vigila veu molts indis a l’horitzó i crida l’alarma:
Soldat: Mi capità! Mi capità! Venen els indis cap aquí!
Capità: Molt bé soldat! I quants indis hi venen?!
Soldat: Doncs… a veure… emm!… Mil tres! Mi capità! Són 1003!
Capità: Mil tres?! I com pots saber que són 1003?!
Soldat: Sí, mi Capità! Perquè hi venen tres avançats i uns mil al darrera!”
Aquest innocent soldat va sumar un número precís d’una quantitat petita i un número estimat d’una quantitat molt més gran. Segurament, no li calia fer-ho però ho va fer, probablement, perquè devia pensar que una dada precisa no s’ha de perdre.
Tots sabem que la nostra manera de comptar, la del sistema decimal o de base 10, és la més universal i la que ha tingut més èxit en la història de la humanitat però no és la única manera de comptar.
Sistema decimal dels números naturals:
1, 2, 3, 4,… 10,
11, 12, 13,… 20,
21, 22, 23,… 30,
……
91, 92, 93,… 100,
101, 102, 103,… 110,
111, 112, 113,… 120,
……
191, 192, 193,… 200
201, 202, 203,… 210,
……
291, 292, 293,… 300,
301, 302, 303,… 310,
……
991, 992, 993,…1000,
1001, 1002,… 1010,… i així cap el infinit
Hi ha altres sistemes de numeració que s’usen menys, emprats sobretot per tribus de cultures primitives, i que es van fer servir en l’antiguitat, algun dels quals ha perdurat fins els nostres temps en les cultures avançades.
Els més destacats són el de base 5 o quinari, el de base 12 o duodecimal, el de base 20 o vigesimal i el de base 60 o sexagesimal. El sistema en base 5 va ser el més primitiu i té relació immediata amb els dits de la mà. Es veu que els prehistòrics devien comptar amb els dits de les mans i encara algunes tribus actuals en fan servir aquesta manera. També, resulta evident que el sistema decimal o en base 10 va sorgir dels deu dits de les nostres mans i és el que es va imposar en el món de les matemàtiques. El sistema duodecimal o en base 12 es va usar en algunes cultures d’orient i només ha perdurat en la forma d’empaquetar alguns productes, com els ous en dotzenes. El sistema vigesimal va ser emprat durant molt temps en molts pobles antics sobretot pel que fa el comerç i les mercaderies que anaven en gran volum. Es veu que comptar de 20 en 20 els resultava més ràpid. Queden vestigis en llengües europees com el francès, com els “quatre vint” dels 80, i també en el danès. Finalment, però, va desaparèixer sota el domini del sistema decimal. I, per acabar, el sistema sexagesimal o en base 60 va ser usat pels sumeris, en orient mitjà, va passar als babilonis i d’aquests a les civilitzacions occidentals, que encara el fem servir per mesurar o comptar el temps i les distàncies d’arc d’una corba, com una circumferència, o els angles. Aquest és un sistema curiós del qual hi ha unes quantes hipòtesis sobre el seu origen. Una d’elles és la d’Ifrah, que creu que es va originar per combinació dels sistemes en base 5 i en base 12. El 12 seria el número de falanges dels quatre dits llargs d’una mà i el dit gros seria el dit comptador. El sistema sexagesimal va ser un sistema de numeració i per calcular considerat culte i que van fer servir els antics astrònoms. Va ser l’Astronomia qui el va usar i el va conservar fins el nostres dies. Tots estem acostumats a parlar del temps en 60 segons, 60 minuts, 24 hores…i el rellotge analògic, el de cercle que no d’esfera com es diu, té 12 números corresponents a les 12 hores de la meitat d’un dia. O, també, estem acostumats a veure les dades de posicionament geogràfic en graus, minuts i segons de latitud i longitud sobre la Terra i també amb aquest mateix sistema per a les coordenades estel•lars quan observem l’univers. El problema sorgeix quan hem de fer els càlculs d’equivalència per passar d’aquest sistema als números dels sistema decimal.

Sembla ser que els humans no som els únics animals que tenim capacitat de comptar. S’han fet experiments i estudis amb altres animals i es veu que tenen una certa capacitat de comptar o, si més no, de diferenciar entre quantitats si són relativament petites, sobretot en altres primats però també en altres grups d’animals. Tots hem vist, fins i tot, en els documentals de fauna africana, com els lleons fugen quan es veuen en inferioritat numèrica o ataquen quan es veuen en superioritat numèrica. Un lleó que marxa quan venen dos, o dos lleons que eviten la lluita quan venen tres, o tres que refusen assaltar el territori d’un grup de quatre quan es veuen. I les lluites de les lleones amb les hienes, que defensen el cadàver d’una presa o l’abandonen a les hienes segons es vegin en superioritat o en inferioritat en funció de les proporcions numèriques d’unes i d’altres. Per exemple, 4 lleones defensaran la presa davant unes 8 hienes però, probablement, la deixaran davant d’unes 16 hienes. Segurament, diferenciar entre quantitats notòries és una qüestió de supervivència en la natura per a alguns animals.
Tornant a nosaltres, sabem que no és tan fàcil i directe donar un número o xifra per a una quantitat de coses que veiem quan ja són unes quantes o moltes i per aquest motiu fem estimacions de magnitud. El que succeeix és que amb quantitats elevades, que ens resulten difícil comptar, perdem l’equidistància entre quantitats consecutives i ens desviem de l’escala lineal per passar a una escala logarítmica. En un treball d’Antropologia matemàtica, es va estudiar la tribu amazònica dels “mundurukus”, que, encara que tenen paraules per designar els números fins el 5, normalment només fan servir les paraules per designar l’1, el 2, i ja després molts, com fa la majoria de tribus actuals que no tenen un sistema de numeració desenvolupat: 1, 2 i molts. Van fer un experiment i els demanaven situar quantitats aleatòries entre l’1 i el 10 en una línia i el resultat va ser que els primers números estaven més separats que els últims i que aquestes ubicacions s’ajustaven a una escala logarítmica. En comparació, el mateix experiment amb ciutadans de Boston donava una escala lineal dels punts ubicats en la línia de l’1 al 10. Altres investigadors van fer un experiment semblant amb nens occidentals de tres grups, un de parvulari, un altre de primer de primària i un altre de segon de primària, però en aquest cas se’ls demanava situar en una línia quantitats entre l’1 i el 100. El resultat de parvulari s’ajustava a una escala logarítmica, el de primer ja s’anava apropant a una escala lineal i el de segon ja s’ajustava a una escala lineal. En altres paraules, aquests dos treballs suggereixen que l’escala logarítmica és més innata i intuïtiva i que és l’aprenentatge, l’experiència i la cultura que assolim en les societats més desenvolupades les que fam que adoptem l’escala lineal per comptar i mesurar. Però, curiosament, el mateix grup de bostonians donava un resultat logarítmic quan se’ls demanava fer la mateixa prova amb quantitats elevades difícils de comptar. Aquest fet suggereix que l’escala logarítmica la tenim incorporada al nostre sistema neurològic de forma innata i que apareix en aquestes situacions en les quals no podem parar-nos a comptar amb precisió i té a veure amb el fet evolutiu pel qual són més importants les proporcions de les quantitats que les quantitats concretes en sí mateixes, cosa que acompleix l’escala logarítmica en tenir aquest component de proporció, i que faria que els animals tinguéssim més possibilitats de sobreviure en un entorn natural d’incertesa.
A continuació, figures tretes de “Investigación y Ciencia”:


Referències bibliogràfiques:
– Historia Universal de las cifras. George Ifrah, 1997, Espasa-Calpe SA, Madrid.
Obra monumental sobre l’origen dels números, la seva simbologia, les paraules que els designen i els sistemes de numeració i de càlcul en les diferents cultures.
– El paraíso logarítmico perdido. Bartolo Luque, Investigación y Ciencia nº 450, març 2014, secció Juegos matemáticos, Prensa Científica SA, Barcelona.
En aquest article, es dóna les referències dels dos treballs esmentats, un sobre la tribu amazònica i l’altre sobre els números en la infància, que es ressenyen a continuació.
– Development of numerical estimation in young children. Robert S. Siegler and Julie L. Booth (2004), Child Development, vol. 75, nº 2, 428-444.
– Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in western and Amazonian indigene cultures. Stanislas Dehaene et al. (2008), Science, vol. 320, nº 5880, 1217-1220.